Bachelor Projekt: Kuglefunktioner

I januar 2006 afleverede jeg mit Bachelor Projekt om Kuglefunktioner. Det kan hentes her:

BachelorOpgave.pdf

Dansk resume

Dette projektet indeholder en definition af kuglefunktionerne givet ved begrænsningen af visse polynomier til enhedskugleoverfladen og af Legendre polynomierne. Der gives bl.a. to alternative repræsentationer af Legendre polynomierne, nemlig Rodrigues repræsentaion og en repræsentaion ved Legendres første integral. Det vises at Legendre polynomierne er hypergeometriske funktioner. De associerede Legendre funktioner indføres og det vises at kuglefunktionerne i en given dimension, q, kan konstrueres vha. kuglefunktionerne i dimension q-1 og de associerede Legendre funktioner. Desuden vises at kuglefunktionerne udspænder rummet bestående af de kvadratintegrable funktioner på enhedskuglen. Endelig betragtes kuglefunktionerne som egenfunktioner til Laplace-Beltrami operatoren.

English abstract

This project contains a definition of the spherical harmonics as the restriction of certain polynomials to the unit sphere and of the Legendre polynomials. Presented are, among other things, two representaions of the Legendre polynomials, namely the Rodrigues representaion and a representation by Legendres first integral. It is shown that the Lengendre polynomials are hypergeometric functions. The associated Legendre funnctions are introduced and it is shown that the spherical harmonics for a given dimension, q, can be constructed by the spherical harmonics of dimension q-1 and the associated Legendre functions. Furthermore it is shown that the spherical harmonics span the space of square integrable functions on the unit sphere. Finally the spherical harmonics are considered as eigenfunctions of the Laplace-Beltrami operator.